En la entrada anterior de esta serie, comenzamos a estudiar el tema de la Lógica como la disciplina que nos enseña a pensar correctamente, y vimos cuáles eran sus elementos básicos. En esta ocasión, nos adentraremos en el proceso de construir afirmaciones (proposiciones) más elaboradas a partir de otras más simples.
Recordemos que las proposiciones son nuestra unidad básica de pensamiento (razón por la cual esta rama de la Lógica se llama "lógica proposicional"). Ellas son los elementos fundamentales que pueden ser afirmados (considerados verdaderos) o negados (considerados falsos), dependiendo de si corresponden o no a la realidad. Una de las tareas de la Lógica, en este sentido, es estudiar cómo la verdad de algunas proposiciones está conectada con la verdad de otras.
Una caja de herramientas lógicas
Hasta el momento, las proposiciones que hemos visto son más bien simples: cada proposición es una única afirmación que resulta fácil de identificar. Sin embargo, en la vida diaria nuestras ideas son bastante más complejas, y es por eso que existen ciertas maneras de representar, relacionar y ordenar proposiciones que hacen posible expresar afirmaciones más elaboradas. Estas "herramientas" son el uso de variables, conectivos y auxiliares.
Variables: Sintetizando ideas
Una variable proposicional es un símbolo -generalmente una letra- que puede ser usado para representar una proposición, de la misma forma en que las letras "x" o "y" representan valores numéricos en una ecuación matemática. Las variables proposicionales tradicionales son las letras "P", "Q", "R" o "S", pero estrictamente hablando, podríamos utilizar cualquier símbolo que no estemos utilizando con otro fin. La idea es que en lugar de escribir, por ejemplo, "Si está lloviendo, entonces está nublado", podamos expresar la misma idea en una forma más breve y clara para el análisis, de esta manera: "Si P, entonces Q" (donde P = "Está lloviendo" y Q = "Está nublado").
Conectivos: Relacionando verdades
La segunda herramienta importante son los llamados conectores o conectivos proposicionales. Estos son operaciones que nos permiten obtener nuevas proposiciones en base a otras, lo cual nos habilita para crear enunciados más complejos.
[Nota: Sólo mencionaré la simbología con el fin de ayudar a quienes quieran profundizar en este tema, pero dentro de este blog utilizaré principalmente la notación "informal"]
La negación ("no", simbolizada con un "¬" o un "~") invierte el valor de verdad de la proposición. Si recordamos la entrada anterior, de acuerdo a la ley de no-contradicción siempre se cumplirá que si P es verdadero, la negación de P será falsa, y viceversa.
Ejemplo: "No P" es...
Verdadera, si P = "Yo estoy inconsciente"
(Ya que P es obviamente falsa al momento que escribo esto, no P es verdadera)
Falsa, si P = "Esto está escrito en español"
(Ya que P es obviamente verdadera, no P es falsa)
La conjunción ("y", simbolizada con un "^") realiza una especie de conexión o intersección entre dos proposiciones. De esta manera, la proposición "P y Q" sólo será verdad si P y Q son ambas verdaderas; si una de ellas es falsa (o ambas lo son) entonces "P y Q" es falso.
Ejemplo: "P y Q" es...
Verdadera, cuando
P = "Estoy comiendo",
Q = "Está llegando alimento a mi estómago" y
en realidad, yo estoy almorzando
Falsa, cuando
P = "Hay un gato en el cuarto" y
Q = "Sólo hay personas en el cuarto".
(Independientemente del contenido del cuarto, P y Q nunca podrán ser ambas verdaderas)
La disyunción ("o" simbolizada con un "v") realiza una especie de unión entre dos proposiciones. De esta manera, para que la proposición "P o Q" será verdadera, basta simplemente con que una de las afirmaciones P o Q sea verdadera. La única forma de que "P o Q" sea falsa es que tanto P como Q sean ambas falsas.
Ejemplo: "P o Q" es...
Verdadera, si
P = "Yo soy humano" y
Q = "Yo soy extraterrestre"
(Como P es verdadera, eso basta para que P o Q sea verdadera)
Falsa, cuando
P = "Está lloviendo"
Q = "Está soleado",
y en realidad el cielo sólo está nublado.
La condicional ("si... entonces" o "implica", simbolizada por una "→") establece una cierta relación de "dependencia" o causa-y-efecto entre dos proposiciones. Tal como lo sugiere el lenguaje, "P implica Q" (o "si P, entonces Q") será verdadera si, cada vez que P es verdadera, se cumple que Q es verdadera. En este caso particular, P y Q reciben nombres especiales: P es llamado el antecedente y Q el consecuente.
Ejemplo: "P implica Q" es...
Verdadera, cuando
P = "Está lloviendo" y
Q = "No está despejado".
(Siempre que esté lloviendo debe haber una cierta cantidad de nubes, es decir, no puede estar despejado)
Falsa, cuando
P = "El suelo está mojado" y
Q = "Está lloviendo"
(En este caso, no siempre se cumple que si P es verdadero, entonces Q es verdadero, pues el suelo puede mojarse por muchas razones además de la lluvia).
Finalmente, la bicondicional ("si y sólo si" o "equivale a", simbolizada por "↔") establece una relación de causalidad mutua entre dos proposiciones. "P si y sólo si Q" ("P equivale a Q") sólo es verdad si cada vez que P es verdadero, entonces Q es verdadero y viceversa (en otras palabras, "P equivale a Q" es una forma breve de decir que "P implica Q" y "Q implica P").
Ejemplo: "P si y sólo si Q" es...
Verdadera, cuando
P = "Tengo esposa"
Q = "Soy un hombre casado"
(Si tengo esposa, entonces soy casado; si soy casado, entonces tengo esposa)
Falsa, cuando
P = "Siempre tengo calificaciones perfectas"
Q = "Soy un buen estudiante"
(Si alguien siempre tiene calificaciones perfectas, es obviamente un buen estudiante, pero la definición de "buen estudiante" no exige necesariamente un récord perfecto de calificaciones).
Auxiliares: Poniendo orden
Por último, existen elementos llamados auxiliares, que permiten agrupar de alguna manera las variables proposicionales cuando la proposición que queremos expresar es muy compleja o extensa. En esta categoría están los paréntesis regulares "( )" y los cuadrados "[ ]".
Bien, esto es más que suficiente material por esta vez. Ahora que tenemos las herramientas necesarias para expresar afirmaciones complejas de manera ordenada, estamos listos para entrar al tema de los argumentos, el cual -posiblemente- estará inaugurando el nuevo año.
Fuentes Utilizadas / Lecturas Recomendadas
Philosophy Pages - Logical Arguments
Cross Examined - Lógica 03: Lógica proposicional y las leyes de la lógica
Universidad de Concepción - Apuntes de Algebra y A. Lineal: Lógica y Conjuntos
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