(Este post es parte de la serie Lógica: Cómo Pensar Correctamente, que puedes encontrar completa aquí)

Hasta el momento, hemos aprendido lo necesario para expresar en forma lógica nuestras afirmaciones y argumentos. Hoy daremos una breve mirada a ciertas reglas que nos ayudarán a simplificar la lectura y el análisis de los argumentos que encontremos.

Nuevamente, una aclaración: el propósito de esta serie es entregar una preparación muy general en el área de la lógica. Por este motivo, así como lo hemos hecho hasta ahora, no revisaremos absolutamente todas las reglas que existen, y no entraremos en clasificaciones formales ni descripciones detalladas. Aquí sólo nos contentaremos con mencionar algunas de las que se usan con más frecuencia.

Reglas para simplificar la vida

Las herramientas que veremos a continuación son denominadas usualmente reglas de reemplazo (cuando se aplican a una sola proposición), o reglas de inferencia (cuando se aplican a más de una proposición a la vez). Ambos tipos de regla nos permiten sustituir proposiciones complicadas de leer y entender por otras más simples, pero que conservan el mismo valor de verdad. En otras palabras, si la proposición reemplazada es verdadera, la nueva proposición también lo será; si es falsa, la nueva proposición será falsa también. Como veremos, esta clase de movidas hace mucho más sencillo nuestro trabajo.

Veamos a continuación algunas de las reglas más comunes:

Doble negación

P equivale a No (No P)

Esta debería ser bastante directa. Recordemos que la negación invierte el valor de verdad de una proposición, cambiándola de verdadero a falso y viceversa. Lo que obtenemos al negar dos veces seguidas una proposición es simplemente dejarla con su valor de verdad original.

Leyes de De Morgan

No (P y Q) equivale a (No P) o (No Q)
No (P o Q) equivale a (No P) y (No Q)

Esta segunda equivalencia es un poco más compleja. La idea aquí es que la negación se "distribuye" en la proposición que está afectando, negando cada uno de sus componentes (P, Q, etc) e "invirtiendo" el operador que los une. El hecho de que "y" sea el inverso de "o" se puede ver de sus respectivas definiciones: "P y Q" sólo es verdad cuando P y Q son ambas verdaderas, y es falso en cualquier otro caso. "P o Q" sólo es falsa cuando P y Q son ambas falsas, y es verdadero en cualquier otro caso. Suena como el opuesto, ¿no es así?

Implicación Material

(P implica Q) equivale a (No P) o Q

Si hacemos memoria, "P implica Q" nos dice que si P es verdad, entonces Q es verdad. ¿Qué pasa si P es falsa? Bueno, no podemos saber con certeza: Q puede ser verdadera o falsa. El único caso que es imposible es que P sea verdadera y Q falsa, por la definición que mencionamos recién.

Dicho esto, veamos "(No P) o Q". Esta expresión es verdadera en tres casos también: 1) cuando P es falsa y Q verdadera; 2) cuando P y Q son ambas falsas; y 3) cuando P y Q son ambas verdaderas. Por otra parte, es imposible que "(No P) o Q" sea verdadera si P es verdadera y Q falsa. ¿Lo pueden ver? Son exactamente los mismos resultados que tenemos para "P implica Q", por tanto, ambas expresiones son equivalentes.

Modus ponens

Si tenemos que:

P implica Q, y
P,
entonces ambas proposiciones pueden sustituirse por Q

Modus ponens quiere decir en latín "la forma que afirma". Esta regla, como se habrán dado cuenta, proviene directamente de la definición de implicancia: si "P implica Q" es verdadero, y P es verdadero, entonces ambas expresiones equivalen a decir que Q es verdadero.

Modus tollens

Si tenemos que:

P implica Q, y
No Q,
entonces ambas proposiciones pueden sustituirse por "No P"

Modus tollens ("la forma que niega"), también se deduce naturalmente de la definición de implicancia. Si "P implica Q" y "No Q" son ambas verdaderas, eso exige que P sea falsa, y, por ende, que No P sea verdadera. ¿Por qué? Porque si P fuera verdadera, Q tendría que ser verdadera (por definición de "P implica Q"), pero el caso es que Q es falsa (pues No Q es verdadera). Por lo tanto, ambas expresiones equivalen a decir que No P es verdadera.

Silogismo hipotético

Si tenemos que:

P implica Q, y
Q implica R,
entonces ambas proposiciones pueden sustituirse por "P implica R"

Quizás la forma más sencilla de ver esto es desde adelante hacia atrás. Por definición de implicación, sabemos que el valor de R depende del valor de Q. Pero, a su vez, el valor de Q depende del valor de P, de tal manera que la veracidad o falsedad de R termina dependiendo efectivamente de la veracidad o falsedad de P. Si P es verdadero, entonces Q es verdadero, y por ende, R será verdadero, lo mismo que ocurriría si sólo tuviéramos "P implica R". Recorriendo todos los casos posibles, como lo hicimos en el punto de la implicación material, es posible comprobar que los resultados son exactamente los mismos y que esta sustitución es correcta.

Bueno, espero que hayan disfrutado el viaje sin marearse. Como éstas, existen muchas otras equivalencias y reglas que aplican a diferentes casos, pero confío en que las que hemos mencionado aquí serán suficientes para sustentar nuestros análisis de argumentos en el futuro. Ya que tenemos alguna idea de cómo crear buenos argumentos, en la próxima parte de esta serie aprenderemos cómo no argumentar, es decir, los posibles errores en los que podemos caer al intentar construir un argumento.